勾股定理的证明方法及常用公式

勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。

勾股定理推导:欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积。

证明的思路为:从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C

A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

勾股定理常见知识点

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最短

3、同角或等角的补角相等

4、同角或等角的余角相等

5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短

7、平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行

9、同位角相等,两直线平行

10、内错角相等,两直线平行

11、同旁内角互补,两直线平行

12、两直线平行,同位角相等

13、两直线平行,内错角相等

14、两直线平行,同旁内角互补

15、定理三角形两边的和大于第三边

16、推论三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180"

18、推论1直角三角形的两个锐角互余

19、推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

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