等比数列的性质

一、等比数列的性质

设${a_n}$是公比为$q$的等比数列,那么

(1)数列${a_n}$是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积,即$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=$$cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。

(2)若$m$,$n$,$p$$(m,n,p∈mathbf{N}^*)$成等差数列,则$a_m$,$a_n$,$a_p$成等比数列,即$a^2_n=a_ma_p$。

(3)若$m+n=p+q(m,n,p,q∈mathbf{N}^*)$,则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地,若$m+n=2p$,则$a_ma_n=a^2_p$。

(4)数列${λa_n}$($λ$为不等于0的常数)仍是公比为$q$的等比数列;

数列$egin{Bmatrix}dfrac{1}{a_n}end{Bmatrix}$是公比为$frac{1}{q}$的等比数列;

数列${|a_n|}$是公比为$|q|$的等比数列;

若数列${b_n}$是公比为$q^′$的等比数列,则数列${a_n·b_n}$是公比为$q·q^′$的等比数列。

(5)当数列${a_n}$是各项都为正数的等比数列时,数列${lg a_n}$是公差为$lg q$的等差数列。

(6)在数列${a_n}$中,连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列(相邻$k$项的和都不为0)。

(7)在数列${a_n}$中,每隔$k(k∈mathbf{N}^*)$项取出一项,按原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为$q^{k+1}$。

二、等比数列的性质的相关例题

已知数列${a_n}$,若$a_1=2$,$a_{n+1}+a_n=2n+1$,则$a_{2021}=$____

A.2 019 B.2 020

C.2 021 D.2 022

答案:D

解析:∵$a_{n+1}+a_n=2n+1$,∴$a_{n+1}-(n+1)=-(a_n-n)$,即数列${a_n-n}$是以1为首项,-1为公比的等比数列,∴$a_n-n=(-1)^{n-1}$,∴$a_n=n+(-1)^{n-1}$,∴$a_{2021}=2 021+1=2 022$,故选D。

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