倒序相加法的定义

一、倒序相加法的定义

倒序相加法是解决数列求和问题的一种经典方法。

如果一个数列${a_n}$中，与首、末两项等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前$n$项和可用倒序相加法。

等差数列的前$n$项和就是用这个方法推导的。

如：求$1+2+3+$$cdots+$$98+99+100$的和可用倒序相加法，即$(1+100)+$$(2+99)+$$(3+98)+$$cdots+$$(50+51)=$$5050$。

二、倒序相加法的相关例题

已知函数$f(x)=frac{4^x}{4^x+2}$，数列${a_n}$满足$a_n=fleft(frac{n}{2020} ight)$，则数列${a_n}$的前$2019$项和为___

A．$frac{2019}{2}$ B．$1010$

C．$frac{2021}{2}$ D．$1011$

答案：A

解析：依题意，函数$f(x)=frac{4^x}{4^x+2}$，则$f(1-x)=frac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=frac{2}{4^x+2}$，所以$f(x)+f(1-x)=1$，又数列${a_n}$满足${a_n}=fleft(frac{n}{2 020} ight)$，$fleft(1-frac{n}{2 020} ight)=fleft(frac{2 020-n}{2 020} ight)=$$a_{2020-n}$。因为$f(x)+f(1-x)=1$，所以$a_n+a_{2020-n}=1$，设此数列前$2 019$项的和为$S_{2019}$，则有$S_{2019}=a_1+a_2+a_3+cdots+a_{2019}$，$S_{2019}=$$a_{2019}+$$a_{2018}+$$a_{2017}+$$cdots+a_1$，所以$2S_{2019}=(a_1+a_{2019})+$$(a_2+a_{2018})+$$cdots+$$(a_{2018}+a_2)+$$(a_{2019}+a_1)=$$2 019$，即$S_{2019}=frac{2019}{2}$。