直线与圆锥曲线的位置关系

一、直线与圆锥曲线的位置关系

1、判断直线$l$与圆锥曲线$C$的位置关系时,通常将直线$l$的方程($A$,$B$不同时为0)代入圆锥曲线$C$的方程$F(x,y)=0$,消去$y$(也可以消去$x$)得到一个关于变量$x$(或$y$)的一元方程。即$egin{cases}Ax+By+C=0,F(x,y)=0,end{cases}$消去$y$,得$ax^2+bx+c=0$。

一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的判别式为$mathit{Δ}$,

则$mathit{Δ}>0Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相交;

$mathit{Δ}=0Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相切;

$mathit{Δ}<0Leftrightarrow$直线与圆锥曲线相离。

2、直线与圆锥曲线相交弦的有关问题

(1)弦长公式:设斜率为$k(k≠0)$的直线$l$与圆锥曲线$C$相交于$A$,$B$两点,$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则$egin{aligned}|AB|&=sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|&=sqrt{1+k^2}·sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}&=sqrt{1+frac{1}{k^2}}·|y_1-y_2|&=sqrt{1+frac{1}{k^2}}·sqrt{(y_1+y_2)^2-4y_1y_2}end{aligned}$

(2)中点弦问题的考查类型

①已知一定点$P$在圆锥曲线内,求过$P$点且以$P$为中点的弦所在的直线方程。

②利用已知条件求弦的中点。

③求圆锥曲线中弦的垂直平分线。

(3)中点弦问题的常用解法

根与系数的关系法

将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元方程,若为一元二次方程,则利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解。它有一个固定的模式,即设交点坐标为$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$,联立直线方程和曲线方程,消元得出一个一元方程(必要时对二次项的系数加以讨论),二次项系数不为0时,得出$x_1+x_2$,$x_1x_2$(或$y_1+y_2$,$y_1y_2$)及$mathit{Δ}>0$,然后再根据题设条件求解。

点差法

若直线(存在斜率)与圆锥曲线$C$有两个交点$A$和$B$,一般地,首先设出交点坐标$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,代人曲线方程,通过作差,构造出$x_1+x_2$,$y_1+y_2$,$x_1-x_2$,$y_1-y_2$,从而建立了中点坐标和斜率的关系。

二、直线与圆锥曲线的位置关系的相关例题

已知椭圆$C$的焦点为$F_1(-1,0)$,$F_2(1,0)$,过$F_2$的直线与$C$交于$A$,$B$两点。若$|AF_2|=2|F_2B|$,$|AB|=|BF_1|$,则$C$的方程为___

A.$frac{x^2}{2}+y^2=1$

B.$frac{x^2}{3}+frac{y^2}{2}=1$

C.$frac{x^2}{4}+frac{y^2}{3}=1$

D.$frac{x^2}{5}+frac{y^2}{4}=1$

答案:B

解析:设$|F_2B|=t$,则$|AF_2|=2|F_2B|=2t$,$|BF_1|=|AB|=|AF_2|+|F_2B|=3t$,由点$B$在椭圆上,有$2a=|BF_1|+|F_2B|=4t$,解得$t=frac{a}{2}$,则$|AF_2|=2t=a$,则$|AF_2|=2a-|AF_1|=a$,得$|AF_1|=a$,则在$△ABF_1$中,由余弦定理得$cos A=frac{|AF_1|^2+|AB|^2-|BF_1|^2}{2|AF_1|·|AB|}=frac{a^2+frac{9a^2}{4}-frac{9a^2}{4}}{2×a×frac{3a}{2}}=frac{1}{3}$,在$△AF_1F_2$中,由余弦定理得$cos A=frac{|AF_1|^2+|AF_2|^2-|F_1F_2|^2}{2|AF_1|·|AF_2|}=frac{a^2+a^2-4c^2}{2×a×a}=frac{1}{3}$,解得$a^2=3c^2=3$,则$b^2=a^2-c^2=2$,所以椭圆的方程为$frac{x^2}{3}+frac{y^2}{2}=1$,故选B。

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