反比例函数的定义和图像

一、反比例函数的定义和图像

1、反比例函数

一般地,形如$y=frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的函数,叫做反比例函数,其中$x$是自变量,$y$是函数。自变量$x$的取值范围是不等于0的一切实数。

2、反比例函数$y=frac{k}{x}$需注意以下几点:

(1)$k$为常数,$k≠0$。

(2)自变量$x$的取值范围是$x≠0$的一切实数。

(3)$y$的取值范围是$y≠0$的一切实数。

3、反比例函数的图象与性质

反比例函数$y=frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的图象是双曲线。

(1)当$k>0$时

图象位于一、三象限;在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。

(2)当$k<0$时

图象位于二、四象限;在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。

4、反比例函数$k$的几何意义

(1)矩形的面积

过双曲线上任意一点$P$作$x$轴,$y$轴的垂线$PM$,$PN$,垂足分别为$M$,$N$,所得矩形$PMON$的面积$S=PM·PN=$$|y|·|x|=$$|xy|$,又因为$y=frac{k}{x}$,所以$xy=k$,所以$S=|k|$,即过双曲线上任意一点$P$作$x$轴,$y$轴的垂线$PM$,$PN$,所得矩形$PMON$的面积为$|k|$。

(2)三角形的面积

过双曲线上任意一点$E$作$EF$垂直$y$轴于点$F$,连接$EO$,则$S_{△EOF}=frac{|k|}{2}$,即过双曲线上任意一点作其中一条坐标轴的垂线,连接这个点与原点,所得三角形的面积为$frac{|k|}{2}$。

5、反比例函数的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形。其对称轴为直线$y=x$和$y=-x$,对称中心为原点。

6、反比例函数解析式的确定

反比例函数$y=frac{|k|}{x}$$(k≠0)$中,只有一个待定系数$k$,因此只需给出一组$x$,$y$的对应值或图象上一点的坐标,代入解析式中求出$k$,即可确定反比例函数的解析式。

二、反比例函数的相关例题

把等式$x-y=0$,$xy=frac{1}{5}$,$frac{x}{y}=5$,$x+y=0$改写成$y$是$x$的函数后,是反比例函数的有___

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

答案:D

解析:把各个等式改写后可表示为$y=x$,$y=frac{frac{1}{5}}{x}$,$y=frac{x}{5}$,$y=-x$,显然符合反比例函数定义的只有1个,故选D。

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