实数与向量相乘的定义和运算律
1、向量
既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作:$overrightarrow{AB}$或$oldsymbol a$。
向量的两要素:大小和方向。
2、向量的数乘
(1)定义
一般地,我们规定实数$λ$与向量$oldsymbol a$的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作$λoldsymbol a$。它的长度与方向规定如下:
① $|λoldsymbol a|=|λ||oldsymbol a|$。
② 当$λ=0$时,$λoldsymbol a=0$;当$λ<0$时,$λoldsymbol a$的方向与$oldsymbol a$的方向相反;当$λ>0$时,$λoldsymbol a$的方向与$oldsymbol a$的方向相同。
向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积,但不能进行加减运算,如$λ+oldsymbol a$,$λ-oldsymbol a$无意义。
(2)向量数乘的运算律
设$λ$,$μ$为实数,则有:
$λ(μoldsymbol a)=(λμ)oldsymbol a$(结合律)。
$(λ+μ)oldsymbol a=λoldsymbol a+μoldsymbol a$(第一分配律)。
$λ(oldsymbol a+oldsymbol b)=λoldsymbol a+λoldsymbol b$(第二分配律)。
特别地,我们有:
$(-λ)oldsymbol a=-(λoldsymbol a)=λ(-oldsymbol a)$。
$λ(oldsymbol a-oldsymbol b)=λoldsymbol a-λoldsymbol b$。
(3)向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$oldsymbol a$,$oldsymbol b$以及任意实数$λ$,$μ_1$,$μ_2$,恒有$λ(μ_1oldsymbol a±μ_2oldsymbol b)=$$λμ_1oldsymbol a±λμ_2oldsymbol b$。
二、实数与向量相乘的相关例题下列说法正确的是___
A.一个向量与零相乘,乘积为零
B.向量不能与无理数相乘
C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反
答案:D
解:A.一个向量与零相乘,乘积为零向量,故本选项错误;B.向量可以与任何实数相乘,故本选项错误;C.非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反,但不一定更短,故本选项错误;D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反,故本选项正确。故答案是D。