反比例函数的性质和定义
1、反比例函数
一般地,形如$y=frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的函数,叫做反比例函数,其中$x$是自变量,$y$是函数。自变量$x$的取值范围是不等于0的一切实数。
2、反比例函数$y=frac{k}{x}$需注意以下几点:
(1)$k$为常数,$k≠0$。
(2)自变量$x$的取值范围是$x≠0$的一切实数。
(3)$y$的取值范围是$y≠0$的一切实数。
3、反比例函数的图象与性质
反比例函数$y=frac{k}{x}$($k$为常数,$k≠0$)的图象是双曲线。
(1)当$k>0$时
图象位于一、三象限;在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
(2)当$k<0$时
图象位于二、四象限;在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
4、反比例函数$k$的几何意义
(1)矩形的面积
过双曲线上任意一点$P$作$x$轴,$y$轴的垂线$PM$,$PN$,垂足分别为$M$,$N$,所得矩形$PMON$的面积$S=PM·PN=$$|y|·|x|=$$|xy|$,又因为$y=frac{k}{x}$,所以$xy=k$,所以$S=|k|$,即过双曲线上任意一点$P$作$x$轴,$y$轴的垂线$PM$,$PN$,所得矩形$PMON$的面积为$|k|$。
(2)三角形的面积
过双曲线上任意一点$E$作$EF$垂直$y$轴于点$F$,连接$EO$,则$S_{△EOF}=frac{|k|}{2}$,即过双曲线上任意一点作其中一条坐标轴的垂线,连接这个点与原点,所得三角形的面积为$frac{|k|}{2}$。
5、反比例函数的对称性
反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形。其对称轴为直线$y=x$和$y=-x$,对称中心为原点。
6、反比例函数解析式的确定
反比例函数$y=frac{|k|}{x}$$(k≠0)$中,只有一个待定系数$k$,因此只需给出一组$x$,$y$的对应值或图象上一点的坐标,代入解析式中求出$k$,即可确定反比例函数的解析式。
二、反比例函数的性质的相关例题已知反比例函数$y=-frac{8}{x}$,下列结论:① 图象必经过$(-2,4)$;② 图象在第二、四象限内;③ $y$随$x$的增大而增大;④ 当$x>-1$时,$y>8$。其中错误的结论有___
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
答案:B
解析:当$x=-2$时,$y=-frac{8}{-2}=4$,所以图象经过$(-2,4)$,故①正确;$k=- 8<0$,所以反比例函数的图象在第二、四象限内,故②正确;$k=-8<0$,双曲线在每一象限内$y$随$x$的增大而增大,故③错误;当$-1<x<0$时,$y>8$,当$x>0$时,$y<0$,故④错误,所以错误的结论有2个。故选B。